ທິດສະດີຂອງ Stewart: ການສ້າງແລະຕົວຢ່າງທີ່ມີການແກ້ໄຂ

ໃນສິ່ງພິມນີ້, ພວກເຮົາຈະພິຈາລະນາຫນຶ່ງໃນທິດສະດີຕົ້ນຕໍຂອງເລຂາຄະນິດ Euclidean - ທິດສະດີຂອງ Stewart, ເຊິ່ງໄດ້ຮັບຊື່ດັ່ງກ່າວເພື່ອເປັນກຽດແກ່ນັກຄະນິດສາດອັງກິດ M. Stewart, ຜູ້ທີ່ໄດ້ພິສູດມັນ. ພວກເຮົາຍັງຈະວິເຄາະຢ່າງລະອຽດກ່ຽວກັບຕົວຢ່າງຂອງການແກ້ໄຂບັນຫາເພື່ອລວບລວມເອກະສານທີ່ນໍາສະເຫນີ.

ຖະແຫຼງການຂອງທິດສະດີບົດ

ສາມຫຼ່ຽມແດນ ABC. ຂ້າງລາວ AC ຈຸດປະຕິບັດ D, ເຊິ່ງເຊື່ອມຕໍ່ກັບດ້ານເທິງ B. ພວກເຮົາຍອມຮັບຂໍ້ສັງເກດຕໍ່ໄປນີ້:

• AB = ກ
• BC = ຂ
• BD = ປ
• AD = x
• DC = ແລະ

ສໍາລັບສາມຫຼ່ຽມນີ້, ຄວາມສະເຫມີພາບແມ່ນຄວາມຈິງ:

ການ​ນໍາ​ໃຊ້​ທິດ​ສະ​ດີ​

ຈາກທິດສະດີຂອງ Stewart, ສູດສາມາດມາຈາກການຊອກຫາ medians ແລະ bisectors ຂອງສາມຫຼ່ຽມ:

1. ຄວາມຍາວຂອງ bisector ໄດ້

ໃຫ້ l_c ແມ່ນ bisector ແຕ້ມໄປຂ້າງ c, ເຊິ່ງແບ່ງອອກເປັນສ່ວນ x и y. ໃຫ້ເອົາອີກສອງດ້ານຂອງສາມຫຼ່ຽມເປັນ a и b… ໃນ​ກໍ​ລະ​ນີ​ນີ້:

2. ຄວາມຍາວປານກາງ

ໃຫ້ m_c ແມ່ນປານກາງຫັນລົງໄປຂ້າງ c. ໃຫ້ໝາຍເຖິງອີກສອງດ້ານຂອງສາມຫຼ່ຽມເປັນ a и b… ຈາກນັ້ນ:

ຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາ

ສາມຫຼ່ຽມໃຫ້ ABC. ທາງດ້ານຂ້າງ AC ເທົ່າກັບ 9 ຊມ, ຈຸດປະຕິບັດ D, ເຊິ່ງແບ່ງຂ້າງດັ່ງນັ້ນ AD ສອງເທົ່າທີ່ຍາວນານ DC. ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ vertex ໄດ້ B ແລະຈຸດ D, ແມ່ນ 5 ຊຕມ. ໃນກໍລະນີດັ່ງກ່າວນີ້, ສາມຫລ່ຽມສ້າງຕັ້ງຂຶ້ນ ສະຫະລັດ ແມ່ນ isosceles. ຊອກຫາດ້ານທີ່ຍັງເຫຼືອຂອງສາມຫຼ່ຽມ ABC.

ການແກ້ໄຂ

ໃຫ້ອະທິບາຍເງື່ອນໄຂຂອງບັນຫາໃນຮູບແບບຂອງຮູບແຕ້ມ.

AC = AD + DC = 9ຊມ. AD ຕໍ່ໄປອີກແລ້ວ DC ສອງຄັ້ງ, ie AD = 2DC.

ດ້ວຍເຫດນີ້, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX ຊຕມ. ດັ່ງນັ້ນ, DC = 3 ຊມ, AD = 6ຊມ.

ເນື່ອງຈາກວ່າສາມຫຼ່ຽມ ສະຫະລັດ - isosceles, ແລະຂ້າງ AD ແມ່ນ 6 ຊຕມ, ດັ່ງນັ້ນເຂົາເຈົ້າມີຄວາມເທົ່າທຽມກັນ AB и BDIe AB = 5ຊມ.

ມັນຍັງມີພຽງແຕ່ເພື່ອຊອກຫາ BC, ໄດ້ມາຈາກສູດຈາກທິດສະດີຂອງ Stewart:

ພວກເຮົາທົດແທນຄ່າທີ່ຮູ້ຈັກເຂົ້າໃນການສະແດງອອກນີ້:

ໃນວິທີການນີ້, BC = √​52 ≈ 7,21ຊມ.