ທິດສະດີເລັກນ້ອຍຂອງ Fermat

ໃນສິ່ງພິມນີ້, ພວກເຮົາຈະພິຈາລະນາຫນຶ່ງໃນທິດສະດີຕົ້ນຕໍໃນທິດສະດີຈໍານວນເຕັມ -  ທິດສະດີເລັກນ້ອຍຂອງ Fermatຕັ້ງຊື່ຕາມນັກຄະນິດສາດຝຣັ່ງ Pierre de Fermat. ພວກເຮົາຍັງຈະວິເຄາະຕົວຢ່າງຂອງການແກ້ໄຂບັນຫາເພື່ອລວບລວມເອກະສານທີ່ນໍາສະເຫນີ.

ຖະແຫຼງການຂອງທິດສະດີບົດ

1. ເບື້ອງຕົ້ນ

If p ເປັນຕົວເລກຕົ້ນຕໍ a ເປັນຈຳນວນເຕັມທີ່ບໍ່ໄດ້ແບ່ງດ້ວຍ pຫຼັງຈາກນັ້ນ a^ໜ້າ-1 - 1 ແບ່ງອອກໂດຍ p.

ມັນຖືກຂຽນຢ່າງເປັນທາງການເຊັ່ນນີ້: a^ໜ້າ-1 ≡ 1 (ຕ້ານ p).

ຫມາຍ​ເຫດ​: ຕົວເລກຕົ້ນຕໍແມ່ນຕົວເລກທໍາມະຊາດທີ່ແບ່ງອອກໄດ້ພຽງແຕ່ XNUMX ແລະຕົວມັນເອງໂດຍບໍ່ມີສ່ວນທີ່ເຫຼືອ.

ຍົກ​ຕົວ​ຢ່າງ:

• a = 2
• p = 5
• a^ໜ້າ-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• ຈໍານວນ 15 ແບ່ງອອກໂດຍ 5 ໂດຍບໍ່ມີສ່ວນທີ່ເຫຼືອ.

2. ທາງເລືອກ

If p ເປັນ​ຕົວ​ເລກ​ສໍາ​ຄັນ​, a ຈຳນວນເຕັມ, ຈາກນັ້ນ a^p ປຽບທຽບກັບ a ໂມດູນ p.

a^p ≡ ກ (ຕ້ານ p)

ປະຫວັດຂອງການຄົ້ນຫາຫຼັກຖານ

Pierre de Fermat ສ້າງທິດສະດີບົດໃນປີ 1640, ແຕ່ບໍ່ໄດ້ພິສູດມັນເອງ. ຕໍ່ມາ, ນີ້ແມ່ນເຮັດໂດຍ Gottfried Wilhelm Leibniz, ນັກປັດຊະຍາເຍຍລະມັນ, logician, mathematician, ແລະອື່ນໆ.ມັນເຊື່ອວ່າລາວມີຫຼັກຖານສະແດງແລ້ວໂດຍ 1683, ເຖິງແມ່ນວ່າມັນບໍ່ເຄີຍໄດ້ຮັບການຈັດພີມມາ. ເປັນທີ່ສັງເກດວ່າ Leibniz ຄົ້ນພົບທິດສະດີຂອງຕົນເອງ, ບໍ່ຮູ້ວ່າມັນຖືກສ້າງຂື້ນມາກ່ອນຫນ້ານີ້.

ຫຼັກຖານທໍາອິດຂອງທິດສະດີບົດໄດ້ຖືກຈັດພີມມາໃນປີ 1736, ແລະມັນເປັນຂອງສະວິດ, ເຍຍລະມັນແລະນັກຄະນິດສາດແລະກົນຈັກ Leonhard Euler. Fermat's Little Theorem ແມ່ນກໍລະນີພິເສດຂອງທິດສະດີບົດຂອງ Euler.

ຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາ

ຊອກຫາສ່ວນທີ່ເຫຼືອຂອງຕົວເລກ 2¹² on 12.

ການແກ້ໄຂ

ໃຫ້ຈິນຕະນາການຕົວເລກ 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ເປັນຕົວເລກຕົ້ນຕໍ, ດັ່ງນັ້ນ, ໂດຍທິດສະດີນ້ອຍຂອງ Fermat ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

2¹¹ ≡ 2 (ຕ້ານ 11).

ດັ່ງນັ້ນ, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (ຕ້ານ 11).

ດັ່ງນັ້ນຈໍານວນ 2¹² ແບ່ງອອກໂດຍ 12 ກັບສ່ວນທີ່ເຫຼືອເທົ່າກັບ 4.